Решение:

Обозначим через хj, j =1,3- объем выпуска продукции j-го вида и запишем математическую модель задачи критерию «максимум прибыли»:

max (6x1+10x2 + 9x3)

3x1 + 6х2 + 4х3 £ 2000

20x1 + 15х2 + 20х3 £ 15000

10x1 + 15х2 + 20х3 £ 7400

3х2 + 5х3 £ 1500

xj³0, j=1,2,3.

В этой модели функциональные ограничения отражают условия ограниченности объемов используемых в производстве ресурсов.

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом X* = (x1 = 520,x2 = 0,х3 = 110) :

3*520 + 6*0 + 4*110 = 2000

20*520 + 15*0 + 20*110 =12600 < 15000 (*)

10*520 + 15*0 + 20*110 = 7400

3*0 + 5*110 =550 < 1500

Значение целевой функции на этом плане равно

f(X) = 6x520 + 10x0 + 9x110 = 4110.

Двойственная задача имеет вид:

min (2000y1+15000y2 +7400у3+1500y4)

3у1+20y2+10y3³6

6y1+15y2+15y3+3y4³10

4y1+20y2+20y3+5y4³9

y1,2,3,4³0.

Для нахождения оценок у1, у2, у3 используем вторую теорему двойственности. Поскольку второе и четвертое ограничения в (*) выполняется как строгое неравенство, то у2 = 0, у4 = 0. Так как х1 > 0 и x3 > 0, то:

3y1* + 20y2* + 10y3* - 6 = 0

4y1*+ 20y2* + 20y3*+5y4* - 9 = 0.

Итак, для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:

y2* = 0

y4* = 0

3y1* + 20y2* + 10y3* = 6

4y1*+ 20y2* + 20y3*+5y4* = 9.

т.е. y1* =3/2, y2* = 0, y3* = 3/20, y4* = 0.

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:

2000y1+15000y2 +7400у3+1500y4

j(Y) = 2000x3/2 + 15000x0 + 7400x3/20 + 1500x0 = 4110, т.е. f(X*) = j(Y*) = 4110.

По первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.

Экономико-математический анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок. В пределах устойчивости двойственных оценок имеют место следующие свойства.

1. Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу (двойственные оценки измеряют эффективность малых приращений объемов ресурсов в конкретных условиях данной задачи).

В рассматриваемом примере увеличение фонда труда на 1 час привело бы к росту максимальной суммы прибыли на 1,5 (у1 = 3/2), а увеличение сырья 2 не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и сумму прибыли.

Сказанное позволяет выявить направления «расшивки» узких мест, обеспечивающие получение наибольшего экономического эффекта, а также целесообразность изменения в структуре выпуска продукции с позиций общего оптимума.

2. Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными (они будут иметь самые высокие оценки), какие менее дефицитными и какие совсем недефицитны (избыточны).

В данном примере недефицитным ресурсом является сырье 1 поскольку у2 = 0 и оборудование, поскольку y4=0.

Острее ощущается дефицитность труда (у1 = 3/2) - он более дефицитен, чем сырье 2 (у3= 3/20).

3. Двойственные оценки позволяют определять своеобразные «нормы заменяемости ресурсов»: имеется в виду не абсолютная заменяемость ресурсов, а относительная, т.е. заменяемость с точки зрения конечного эффекта и лишь в конкретных условиях данной задачи.

В нашем примере относительная заменяемость ресурсов определяется соотношением (нормой) 3/20 : 3/2 = 1:10.

4. Двойственные оценки служат инструментом определения эффективности отдельных хозяйственных решений (технологических способов), с их помощью можно определять выгодность производства новых изделий, эффективность новых технологических способов:

если - выгодно,

если Dj > 0 - невыгодно.

Предположим в рассматриваемом примере следует решить вопрос о целесообразности включения в программу изделия четвертого вида ценой 11 ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.

С учетом сказанного будем иметь в двух рассматриваемых случаях:

8*3/2+4*0+20*3/20+6*0-11 = 4>0 - невыгодно расширение ассортимента;

Ответим на вопрос, как изменится объем выпуска продукции и прибыль от ее реализации, сырье 1 увеличится на 24 ед.